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细胞分裂

题目描述

\(Hanks\)博士是\(BT\)(\(Bio-Tech\)，生物技术) 领域的知名专家。现在，他正在为一个细胞实验做准备工作：培养细胞样本。

\(Hanks\)博士手里现在有\(N\)种细胞，编号从\(1-N\)，一个第\(i\)种细胞经过\(1\)秒钟可以分裂为\(S_i\)个同种细胞（\(S_i\)为正整数）。现在他需要选取某种细胞的一个放进培养皿，让其自由分裂，进行培养。一段时间以后，再把培养皿中的所有细胞平均分入\(M\)个试管，形成\(M\)份样本，用于实验。\(Hanks\)博士的试管数\(M\)很大，普通的计算机的基本数据类型无法存储这样大的\(M\)值，但万幸的是，\(M\)总可以表示为\(m_1\)的\(m_2\)次方，即\(M = m_1^{m_2}\)，其中\(m_1,m_2\)均为基本数据类型可以存储的正整数。

注意，整个实验过程中不允许分割单个细胞，比如某个时刻若培养皿中有\(4\)个细胞，\(Hanks\)博士可以把它们分入\(2\)个试管，每试管内\(2\)个，然后开始实验。但如果培养皿中有\(5\)个细胞，博士就无法将它们均分入\(2\)个试管。此时，博士就只能等待一段时间，让细胞们继续分裂，使得其个数可以均分，或是干脆改换另一种细胞培养。

为了能让实验尽早开始，\(Hanks\)博士在选定一种细胞开始培养后，总是在得到的细胞"刚好可以平均分入\(M\)个试管"时停止细胞培养并开始实验。现在博士希望知道，选择哪种细胞培养，可以使得实验的开始时间最早。

输入输出格式

输入格式

第一行,有一个正整数\(N\)，代表细胞种数。

第二行,有两个正整数\(m_1,m_2\)，以一个空格隔开，即表示试管的总数\(M = m_1^{m_2}\).

第三行有 N 个正整数，第 i 个数 Si表示第 i 种细胞经过 1 秒钟可以分裂成同种细胞的个数。

输出格式

一个整数，表示从开始培养细胞到实验能够开始所经过的最少时间（单位为秒）。

如果无论\(Hanks\)博士选择哪种细胞都不能满足要求，则输出整数\(-1\)。

输入输出样例

输入样例 #1

1
2 1
3

输出样例 #1

-1

输入样例 #2

2
24 1
30 12

输出样例 #2

2

说明

【输入输出说明】

经过\(1\)秒钟，细胞分裂成\(3\)个，经过\(2\)秒钟，细胞分裂成\(9\)个，......，可以看出无论怎么分裂，细胞的个数都是奇数，因此永远不能分入\(2\)个试管。

【输入输出样例\(2\)说明】

第\(1\)种细胞最早在\(3\)秒后才能均分入\(24\)个试管，而第\(2\)种最早在\(2\)秒后就可以均分（每试管\(144/(241)=6\)个）。故实验最早可以在\(2\)秒后开始。

【数据范围】

对于 50%的数据，有\(m_1^{m_2} ≤ 30000\)。

对于所有的数据，有\(1 ≤N≤ 10000,1 ≤m_1 ≤ 30000,1 ≤m_2 ≤ 10000,1 ≤ S_i ≤ 2,000,000,000\)。

NOIP 2009 普及组 第三题

分析

此题 \(M\) 非常大，因此如果你暴力满分我直接吃屏。观察一下题面，很显然能看出是一道数论。

先抛弃最小值不谈，来对单独一个细胞进行分析。假设这个细胞分裂能力是 \(s\)，那么我们要求的就是满足 \(s ^ t | M\) 中 \(t\) 的最小值。

首先先将 \(s\) 和 \(M\) 质因数分解。（\(m_1\) 中若含有 \(P\) 个质因数 \(p\)，那么 \(M = m_1 ^ {m_2}\) 中就有 \(m_2P\) 个质因数 \(p\)，因此把 \(m_1\) 质因数分解，然后对每个质因数数量乘上 \(m_2\) 即可。这也正是为什么 \(M\) 总能表示为 \(m_1 ^ {m_2}\) 的情形。）

设 \(p\) 为 \(s\) 和 \(M\) 的一个共同质因数，\(s\) 中包含 \(s_p\) 个 \(p\)，\(M\) 中包含 \(M_p\) 个 \(p\)，那么若想让 \(s ^ t | M\)，就必须满足 \(t \ge \left\lceil\dfrac{M_p}{s_p}\right\rceil\)。这样，枚举 \(p\)，找到 \(\left\lceil\dfrac{M_p}{s_p}\right\rceil\) 的最大值，那么 \(t\) 值自然就是这个最大值了。

什么时候无解呢？

对于一个质数 \(p\)，定义 \(s_p\) 为 \(s\) 中 \(p\) 因数的数量，\(M_p\) 为 \(M\) 中 \(p\) 因数的数量。若存在一个质数 \(p\)，使得 \(s_p = 0\) 且 \(M_p \ne 0\)，那么不存在 \(t\) 使得 \(s ^ t | M\)。

最后，对每个 \(s\) 都进行上次的操作，在得到的 \(t\) 值中找到最小值即可。

如果所有都是无解的，那么答案自然就是 \(-1\) 咯。

上代码：

代码

/*
 * @Author: crab-in-the-northeast 
 * @Date: 2020-10-02 20:06:20 
 * @Last Modified by: crab-in-the-northeast
 * @Last Modified time: 2020-10-02 21:52:59
 */
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <climits>

const int maxm1 = 30005;

int prime_num[maxm1], cnt;
bool isprime[maxm1];

void prime(int n) {
    std :: memset(isprime, true, sizeof(isprime));
    isprime[1] = false;
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        if (isprime[i]) prime_num[++cnt] = i;
        for (int j = 1; j <= cnt && i * prime_num[j] <= n; ++j) {
            isprime[i * prime_num[j]] = false;
            if (i % prime_num[j] == 0) break;
        }
    }
}

int tube_prime[maxm1], cell_prime[maxm1];

int main() {
    int n, m1, m2, ans = INT_MAX;
    std :: scanf("%d", &n);
    std :: scanf("%d %d", &m1, &m2);

    prime(30000);
    for (int i = 1, div = m1; div != 1; ++i) {
        while (div % prime_num[i] == 0) {
            tube_prime[i] += m2;
            div /= prime_num[i];
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int s, need = 0;
        std :: scanf("%d", &s);
        std :: memset(cell_prime, 0, sizeof(cell_prime));
        for (int j = 1, div = s; j <= cnt; ++j) {
            while (div % prime_num[j] == 0) {
                ++cell_prime[j];
                div /= prime_num[j];
            }
        }

        bool valid = true;
        for (int j = 1; j <= cnt; ++j) {
            if (tube_prime[j] != 0 && cell_prime[j] == 0) {
                valid = false;
                break;
            }
            if (tube_prime[j] != 0) {
                int t = tube_prime[j] / cell_prime[j] + (tube_prime[j] % cell_prime[j] ? 1 : 0);
                if (t > need) need = t;
            }
        }

        if (valid && need < ans) ans = need;
    }

    if (ans == INT_MAX) puts("-1");
    else std :: printf("%d\n", ans);
    return 0;
}

评测记录

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