树链剖分

前置芝士

​ 就像它的名字，树链剖分是在一棵树上进行，在讲解中还会用到线段树和dfs，如果不会，打开链接自行搜索（主要是线段树的博客没做，还有不要问我为什么这算知识）。

一个节点的重儿子，为其更大的一颗子树的根节点。从这个点连向重儿子的边我们称为重边。

由重边连续连起来的点和边就组成了重链，也就是树链。

概念

将一棵树划分成若干条链，用数据结构去维护每条链，复杂度为 \(O(logN)\) 。

其实本质是一些数据结构/算法在树上的推广

作用

处理树上的一些相关问题。比如——维护树上区间，树上路径等等。

区间我们想到了线段树，树上路径想到了LCA，但是它们都有一个特点——连续。线段树只能维护连续区间，LCA路径也是不间断的。所以为了便于处理，我们要对这个图重新标号，以便查找。怎么标呢？我们可以想到——在树链上操作LCA路径，那么路径也是要连贯的，也就是说重链上的编号要连贯，所以我们重新编号的时候是在dfs序的基础上遵循先遍历重儿子的原则。

例题

洛谷P3384 【模板】树链剖分

思路

可以很容易发现——操作1、2都需要走一遍x到y的路径，操作3、4都需要操作以x为根的子树。所以我们先思考怎么遍历这些区间——

首先遍历x到y的路径，我们亦容易想到LCA——两个点同时往上跳，直到某个值相同，可以一起操作。所以我们的思路就是：两个点不在同一条链就往链头的父亲节点跳，在同一条链上就直接处理。而处理方法也很简单——因为全程都在链上以连续的新节点编号来操作，所以线段树维护区间距离就很方便了，完全不受树剖影响地敲一个基本的建树、查询、区间修改+延迟标记的代码就可以了。

而对于操作3和4，以x为根的子树，显然编号也是连续的——毕竟编号时的最基本原则还是dfs遍历。但是有一个小问题——我们知道以x为根的子树最小的编号是x的编号，但是最大的编号我们并不知道，如果遍历一遍来找的话复杂度就会比较高了。所以——这是我们在初始化树剖的时候要存储下来的一个变量——以x为根的子树的最大的节点编号。也就是代码中的son[ ]。

代码

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#define Rint register int
#define mem(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define Temp template<typename T>
using namespace std;
typedef long long LL;
Temp inline void read(T &x){
    x=0;T w=1,ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)&&ch!='-')ch=getchar();
    if(ch=='-')w=-1,ch=getchar();
    while(isdigit(ch))x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^'0'),ch=getchar();
    x=x*w;
}

#define mid ((l+r)>>1)
#define lson rt<<1,l,mid
#define rson rt<<1|1,mid+1,r
#define len (r-l+1)

const int maxn=200000+10;
int n,m,r,mod;
//见题意 
int e,beg[maxn],nex[maxn],to[maxn],w[maxn],wt[maxn];
//链式前向星数组，w[]、wt[]初始点权数组 
int a[maxn<<2],laz[maxn<<2];
//线段树数组、lazy操作 
int son[maxn],id[maxn],fa[maxn],cnt,dep[maxn],siz[maxn],top[maxn]; 
//son[]重儿子编号,id[]新编号,fa[]父亲节点,cnt dfs_cl	ock/dfs序,dep[]深度,siz[]子树大小,top[]当前链顶端节点 
int res=0;
//查询答案 

inline void add(int x,int y){//链式前向星加边 
    to[++e]=y;
    nex[e]=beg[x];
    beg[x]=e;
}
//-------------------------------------- 以下为线段树 
inline void pushdown(int rt,int lenn){
    laz[rt<<1]+=laz[rt];
    laz[rt<<1|1]+=laz[rt];
    a[rt<<1]+=laz[rt]*(lenn-(lenn>>1));
    a[rt<<1|1]+=laz[rt]*(lenn>>1);
    a[rt<<1]%=mod;
    a[rt<<1|1]%=mod;
    laz[rt]=0;
}

inline void build(int rt,int l,int r){
    if(l==r){
        a[rt]=wt[l];
        if(a[rt]>mod)a[rt]%=mod;
        return;
    }
    build(lson);
    build(rson);
    a[rt]=(a[rt<<1]+a[rt<<1|1])%mod;
}

inline void query(int rt,int l,int r,int L,int R){
    if(L<=l&&r<=R){res+=a[rt];res%=mod;return;}
    else{
        if(laz[rt])pushdown(rt,len);
        if(L<=mid)query(lson,L,R);
        if(R>mid)query(rson,L,R);
    }
}

inline void update(int rt,int l,int r,int L,int R,int k){
    if(L<=l&&r<=R){
        laz[rt]+=k;
        a[rt]+=k*len;
    }
    else{
        if(laz[rt])pushdown(rt,len);
        if(L<=mid)update(lson,L,R,k);
        if(R>mid)update(rson,L,R,k);
        a[rt]=(a[rt<<1]+a[rt<<1|1])%mod;
    }
}
//---------------------------------以上为线段树 
inline int qRange(int x,int y){
    int ans=0;
    while(top[x]!=top[y]){//当两个点不在同一条链上 
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更深的那个点 
        res=0;
        query(1,1,n,id[top[x]],id[x]);//ans加上x点到x所在链顶端 这一段区间的点权和 
        ans+=res;
        ans%=mod;//按题意取模 
        x=fa[top[x]];//把x跳到x所在链顶端的那个点的上面一个点 
    }
    //直到两个点处于一条链上
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);//把x点改为所在链顶端的深度更浅的那个点 
    res=0;
    query(1,1,n,id[x],id[y]);//这时再加上此时两个点的区间和即可 
    ans+=res;
    return ans%mod;
}

inline void updRange(int x,int y,int k){//同上 
    k%=mod;
    while(top[x]!=top[y]){
        if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
        update(1,1,n,id[top[x]],id[x],k);
        x=fa[top[x]];
    }
    if(dep[x]>dep[y])swap(x,y);
    update(1,1,n,id[x],id[y],k);
}

inline int qSon(int x){
    res=0;
    query(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1);//子树区间右端点为id[x]+siz[x]-1 
    return res;
}

inline void updSon(int x,int k){//同上 
    update(1,1,n,id[x],id[x]+siz[x]-1,k);
}

inline void dfs1(int x,int f,int deep){//x当前节点，f父亲，deep深度 
    dep[x]=deep;//标记每个点的深度 
    fa[x]=f;//标记每个点的父亲 
    siz[x]=1;//标记每个非叶子节点的子树大小 
    int maxson=-1;//记录重儿子的儿子数 
    for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
        int y=to[i];
        if(y==f)continue;//若为父亲则continue 
        dfs1(y,x,deep+1);//dfs其儿子 
        siz[x]+=siz[y];//把它的儿子数加到它身上 
        if(siz[y]>maxson)son[x]=y,maxson=siz[y];//标记每个非叶子节点的重儿子编号 
    }
}

inline void dfs2(int x,int topf){//x当前节点，topf当前链的最顶端的节点 
    id[x]=++cnt;//标记每个点的新编号 
    wt[cnt]=w[x];//把每个点的初始值赋到新编号上来 
    top[x]=topf;//这个点所在链的顶端 
    if(!son[x])return;//如果没有儿子则返回 
    dfs2(son[x],topf);//按先处理重儿子，再处理轻儿子的顺序递归处理 
    for(Rint i=beg[x];i;i=nex[i]){
        int y=to[i];
        if(y==fa[x]||y==son[x])continue;
        dfs2(y,y);//对于每一个轻儿子都有一条从它自己开始的链 
    }
}

int main(){
    read(n);read(m);read(r);read(mod);
    for(Rint i=1;i<=n;i++)read(w[i]);
    for(Rint i=1;i<n;i++){
        int a,b;
        read(a);read(b);
        add(a,b);add(b,a);
    }
    dfs1(r,0,1);
    dfs2(r,r);
    build(1,1,n);
    while(m--){
        int k,x,y,z;
        read(k);
        if(k==1){
            read(x);read(y);read(z);
            updRange(x,y,z);
        }
        else if(k==2){
            read(x);read(y);
            printf("%d\n",qRange(x,y));
        }
        else if(k==3){
            read(x);read(y);
            updSon(x,y);
        }
        else{
            read(x);
            printf("%d\n",qSon(x));
        }
    }
}

例题2

洛谷P1967

思路

这是边转点，顾名思义就是把边权转化为点权来用。而又因为每个点的父亲是唯一的，所以我们都是把边权给了深度更大的那个点。

在这个题里，我们用边转点的树链剖分来求LCA，剩下的和本题题解思路一样，用Kruskal求最大生成树。。。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 10005
#define maxm 50005
using namespace std;
int read()
{
    register int x = 0, f = 1, ch = getchar();
    while(!isdigit(ch)) {if(ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while(isdigit(ch)) x = (x << 1) + (x << 3) + ch - '0', ch = getchar();
    return x * f;
}
 
int n, m;
struct node
{
    int u, v, w;
    bool operator < (const node &x) const
    {
        return x.w < w;
    }
}g[maxm];
 
int fa[maxn];
int get(int x)
{
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = get(fa[x]);
}
 
struct edge
{
    int to, w, nxt;
    edge(){}
    edge(int tt, int ww, int nn)
    {
        to = tt, w = ww, nxt = nn;
    }
}e[maxn << 1];
 
int k = 0, head[maxn];
void add(int u, int v, int w)
{
    e[k] = edge(v, w, head[u]);
    head[u] = k++;
}
 
int dep[maxn], size[maxn], son[maxn], val[maxn], fa_[maxn];
void dfs_1(int u)//树剖初始化1
{
    size[u] = 1;
    for(register int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt)
    {
        register int v = e[i].to, w = e[i].w;
        if(v == fa_[u]) continue;
        dep[v] = dep[u] + 1;
        fa_[v] = u;
        dfs_1(v);
        size[u] += size[v];
        if(size[v] > size[son[u]]) son[u] = v;
    }
}
 
int top[maxn], dfn[maxn], tot = 0;
void dfs_2(int u, int tp)//树剖初始化2
{
    top[u] = tp;
    dfn[u] = ++tot;
    if(son[u]) dfs_2(son[u], tp);
    for(register int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt)
    {
        register int v = e[i].to, w = e[i].w;
        if(v != fa_[u] && v != son[u]) dfs_2(v, v);
        val[dfn[v]] = w;
    }
}
 
int road[maxn << 2];
void build(int p, int l, int r)//线段树建树
{
    if(l == r)
    {
        road[p] = val[l];
        return;
    }
    register int mid = l + r >> 1;
    build(p << 1, l, mid);
    build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
    road[p] = min(road[p << 1], road[p << 1 | 1]);
}
 
int ask(int p, int l, int r, int ls, int rs)//线段树查询
{
    if(ls <= l && r <= rs) 
        return road[p];
    }
    register int mid = l + r >> 1, ans = 1 << 30;
    if(ls <= mid) ans = min(ans, ask(p << 1, l, mid, ls, rs));
    if(rs > mid) ans = min(ans, ask(p << 1 | 1, mid + 1, r, ls, rs));
    return ans;
}
 
void work(int u, int v)//树剖基本操作
{
    register int ans = 1 << 30;
    register int tmp1 = u, tmp2 = v;
    while(top[u] != top[v])
    {   
        if(dep[top[u]] > dep[top[v]]) swap(u, v);
        ans = min(ans, ask(1, 1, n, dfn[top[v]], dfn[v]));
        v = fa_[top[v]];
    }
    if(dep[u] > dep[v]) swap(u, v);
    ans = min(ans, ask(1, 1, n, dfn[son[u]], dfn[v]));
    printf("%d\n", ans);
}
 
int main()
{
    n = read(), m = read();
    for(register int i = 1; i <= n; i++)
        fa[i] = i;
    for(register int i = 1; i <= m; i++)
        g[i].u = read(), g[i].v = read(), g[i].w = read();
        
    sort(g + 1, g + 1 + m);
    memset(head, -1, sizeof head);
    register int cnt = 0;//最大生成树开始
    for(register int i = 1; i <= m; i++)
    {
        register int u = g[i].u, v = g[i].v, w = g[i].w;
        if(get(u) == get(v)) continue;
        fa[get(u)] = get(v);
        add(u, v, w);
        add(v, u, w);
        cnt++;
        if(cnt == n - 1) break;//省时处理
    }
    
    for(int i = 1; i <= n; i++)//这里一定要开for！！！QAQ
    	if(!size[i]) dfs_1(i);
    	
    for(int i = 1; i <= n; i++)//这里也一定要开for！！！QAQ
    	if(!top[i]) dfs_2(i, i);
    val[1] = 1 << 30;//赋值
    build(1, 1, n);
    
    register int q, u, v;
    q = read();
    while(q--)
    {
        u = read(), v = read();
        if(get(u) != get(v))//判定不连通情况
        {
            puts("-1");continue;
        }
        work(u, v);
    }
}