题目

hdu 2973 YAPTCHA

求 \(s_n=\sum_{i=1}^{n}\left\lfloor\dfrac{(3k+6)!+1}{3k+7}-\left\lfloor\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}\right\rfloor\right\rfloor\)。

思路

根据威尔逊定理。

一个素数 \(p\)，一定满足 \((p-1)!\equiv-1(\bmod \ p)\)。
一个自然数 \(p\)，如果满足 \((p-1)!\equiv-1(\bmod \ p)\)，则一定是素数。

如果 \(3k+7\) 是素数的话，\(\dfrac{(3k+6)!+1}{3k+7}\) 是比 \(\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}\) 大的一个整数，因此素数对答案的贡献是 \(1\)。

如果 \(3k+7\) 不是素数的话，\(\dfrac{(3k+6)!+1}{3k+7}\) 的整数部分和 \(\dfrac{(3k+6)!}{3k+7}\) 的整数部分相同，因此素数以外的数对答案的贡献是 \(0\)。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <string>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define M 3000008

int t, n, ans[M];
bool prime[M];

void isprime() {
    prime[0] = prime[1] = true;
    for (int i = 2; i < M; ++i) {
        if (!prime[i]) {
            int j = i + i;
            while (j < M) {
                prime[j] = true;
                j += i;
            }
        }
    }
}

int main() {
    isprime();
    for (int i = 2; i < M / 3; ++i) {
        ans[i] = ans[i - 1] + (prime[i * 3 + 7] ? 0 : 1);
    }
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%d", &n);
        printf("%d\n", ans[n]);
    }
    return 0;
}