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    三分恶的博客:LeetCode通关:求次数有妙招,位运算三连

    作者:21344 栏目:未分类 时间:2021-11-25 22:20:26

    分门别类刷算法,坚持,进步!

    刷题路线参考: https://github.com/chefyuan/algorithm-base

    大家好,我是刷题困难户老三,这一节我们来刷几道很有意思的求次数问题,它们都有同一类非常巧妙的解法。

    这种解法是什么呢?往下看吧!

    基础知识

    在开始之前,我们最好先了解一些位运算的基础知识。

    原反补码

    先简单说一下,原码、反码、补码。

    一个数在计算机中的二进制表示形式, 叫做这个数的机器数。机器数是带符号的,在计算机用一个数的最高位存放符号, 正数为0, 负数为1.

    比如,十进制中的数 +3 ,假如计算机字长为8位,转换成二进制就是00000011。如果是 -3 ,就是 10000011 。

    • 原码

    原码就是符号位加上真值的绝对值, 即用第一位表示符号, 其余位表示值. 比如如果是8位二进制:

    [+1]原 = 0000 0001

    [-1]原 = 1000 0001

    • 反码

    正数的反码是其本身

    负数的反码是在其原码的基础上, 符号位不变,其余各个位取反。

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反

    • 补码

    正数的补码就是其本身

    负数的补码是在其原码的基础上, 符号位不变, 其余各位取反, 最后+1. (即在反码的基础上+1)

    [+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]补

    [-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]补

    补码是人脑认识里不太直观的一种表示方式,之所以发明补码,是为了让机器以一种一致的方式来处理加法运算。

    原反补码

    更多知识建议阅读《j计算机组成原理》。

    与或非异或运算

    在处理整型数值时,位运算符可以直接对组成整型数值的各个位进行操作。这些位运算符在位模式下工作。位运算符包括:&、|、~、^

    • 与(&)

    对应位都为1,结果为1,否则结果为0

    int a=129;
    int b=128;
    System.out.println("a与b的结果:"+(a&b));
    # 输出
    a与b的结果:128
    

    计算过程如下:

    10000001 &
    10000000 =
    10000000
    
    • 或(|)

    对应位只要有一个为1,结果是1,否则就为0

    int a=129;
    int b=128;
    System.out.println("a或b的结果:"+(a|b));
    # 输出
    a或b的结果是:129
    

    计算过程如下:

    10000001 |
    10000000 =
    10000001
    
    • 非(~)

    位为0,结果是1;位为1,结果是0

     int a = 8;
    System.out.println("非a的结果:"+(~a));
    # 输出
    非a的结果:-9
    

    计算过程如下

            //8转换为二进制
            1000
            // 补符号位
            01000
            // 取反
            10111 (补码)
            // 转源码除符号位取反+1
            11001
    
    • 异或(^)

    对应位相同,结果是0,否则结果是1

    1111 ^
    0010 =
    1101
    

    移位运算

    移位运算见名知意,是数字二进位的移动,我们这里只讨论int型的移位运算。

    • << 左移运算符

    数值的补码全部左移若干位,符号位和高位丢弃,低位补 0。

    • >> 右移运算符

    数值的补码全部右移若干位,符号位不变。

    假如int是8位二进制,两个例子如下:

    10的补码为0000 1010,左移一位变成20(0001 0100),右移一位变成5(0000 0101)

    5的补码为0000 0101,左移一位变成10(0000 1010),右移一位变成2(0000 0010)

    求次数问题

    LeetCode136. 只出现一次的数字

    ☕ 题目:136. 只出现一次的数字 (https://leetcode-cn.com/problems/single-number/)

    ❓ 难度:简单

    📕 描述:

    给定一个非空整数数组,除了某个元素只出现一次以外,其余每个元素均出现两次。找出那个只出现了一次的元素。

    说明:

    你的算法应该具有线性时间复杂度。 你可以不使用额外空间来实现吗?

    题目示例

    💡思路:

    哈希法

    用哈希表存储每一个元素出现的次数,最后找到出现一次的元素。

    代码如下:

        public int singleNumber(int[] nums) {
            Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
            //存储元素出现的次数
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                map.put(nums[i], map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1);
            }
            //遍历获取出现次数为1的情况
            for (int k : map.keySet()) {
                if (map.get(k) == 1) {
                    return k;
                }
            }
            return -1;
        }
    

    ⏰ 时间复杂度:O(n)

    🏠 空间复杂度:O(n)

    位运算

    题中要求空间复杂度O(1),哈希法明显是不合要求的。

    这里有一个全新的方法:位运算。

    异或运算有如下特点:

    • 一个数和 0 做异或运算等于本身:a⊕0 = a
    • 一个数和其本身做 异或 运算等于 0:a⊕a = 0
    • 异或 运算满足交换律和结合律:a⊕b⊕a = (a⊕a)⊕b = 0⊕b = b

    可以重复分利用异或运算的特性,异或数组所有元素,最后留下的那个就是只出现一次的元素。

        public int singleNumber(int[] nums) {
            int ans = 0;
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                //异或运算
                ans ^= nums[i];
            }
            return ans;
        }
    

    ⏰ 时间复杂度:O(n)

    🏠 空间复杂度:O(1)

    LeetCode137. 只出现一次的数字 II

    ☕ 题目:137. 只出现一次的数字 II (https://leetcode-cn.com/problems/single-number-ii/)

    ❓ 难度:中等

    📕 描述:

    给你一个整数数组 nums ,除某个元素仅出现 一次 外,其余每个元素都恰出现 **三次 。**请你找出并返回那个只出现了一次的元素。

    题目示例

    这道题和 剑指 Offer 56 - II. 数组中数字出现的次数 II 是一样的。

    💡思路:

    哈希法

    第一反应还是哈希法,不用多说了,直接上代码:

        public int singleNumber(int[] nums) {
            if (nums.length == 1) {
                return nums[0];
            }
            Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                map.put(nums[i], map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1);
            }
            for (int k : map.keySet()) {
                if (map.get(k) == 1) {
                    return k;
                }
            }
            return -1;
        }
    

    ⏰ 时间复杂度:O(n)

    🏠 空间复杂度:O(n)

    位运算

    好了,又到了我们的主角出场。

    将我们的数的二进制位每一位相加,然后对每一位的和与3取余:

    位运算

    这个原理是什么呢?

    如果其他数都出现 3 次,只有目标数出现 1 次,那么每一位的 1 的个数无非有这两种情况,

    • 为 3 的倍数(全为出现三次的数)
    • 3 的倍数 +1(包含出现一次的数)

    这个 3 的倍数 +1 的情况也就是我们的目标数的那一位。

    代码如下:

        public int singleNumber(int[] nums) {
            int res = 0;
            for (int i = 0; i < 32; i++) {
                int count = 0;
                for (int num : nums) {
                    //检查第i位是否为1
                    if ((num >> i & 1) == 1) {
                        count++;
                    }
                }
                if (count % 3 != 0) {
                    //将第i位设为1
                    res = res | 1 << i;
                }
            }
            return res;
        }
    

    🚗时间复杂度:O(n)

    🏠 空间复杂度:O(1)

    LeetCode260. 只出现一次的数字 III

    ☕ 题目:260. 只出现一次的数字 III (https://leetcode-cn.com/problems/single-number-iii/)

    ❓ 难度:中等

    📕 描述:

    给定一个整数数组 nums,其中恰好有两个元素只出现一次,其余所有元素均出现两次。 找出只出现一次的那两个元素。你可以按 任意顺序 返回答案。

    题目示例

    这道题和 剑指 Offer 56 - I. 数组中数字出现的次数 是一模一样的。

    💡思路:

    这次不是一个重复的元素了,是两个。还是先上我们朴素的哈希法。

    哈希法

    代码如下:

        public int[] singleNumber(int[] nums) {
            int[] res = new int[2];
            Map<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
            for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
                map.put(nums[i], map.getOrDefault(nums[i], 0) + 1);
            }
            int index = 0;
            for (int k : map.keySet()) {
                if (map.get(k) == 1) {
                    res[index] = k;
                    index++;
                }
            }
            return res;
        }
    

    🚗时间复杂度:O(n)

    🏠 空间复杂度:O(n)

    位运算[5]

    我们在 LeetCode136. 只出现一次的数字 里只用了一个异或就找出了那个出现一次的数字。

    这道题怎么办呢?

    要是我们能把它分成两组就好了。

    怎么分呢?

    大家都知道异或运算对应位相同,结果是0,否则结果是1

    我们可以根据两个数某一位是否是0和1来把数组分为两组。

    例如数组: [12,13,14,17,14,12]

    异或的结果是:13^17。

    获取分组位

    分组位找到了。

    那么怎么借助分组位进行分组呢?

    13、17的异或值,可以仅保留异或值的分组位,其余位变为 0,例如 11100变成00100。

    为什么要这么做呢?在第二题提到,我们可以根据 a & 1 来判断 a 的最后一位为 0 还是为 1,所以我们将 11100变成00100之后,然后数组内的元素 x & 001 即可对 x 进行分组 。

    那么我们如何才能仅保留分组位,其余位变为 0 呢?

    可以利用 x & (-x) 来保留最右边的 1。

    代码如下:

        public int[] singleNumber(int[] nums) {
            int bitMask = 0;
            //把数组中的所有元素全部异或一遍
            for (int num : nums) {
                bitMask ^= num;
            }
            //保留最右边的1
            bitMask &= -bitMask;
            int[] res = {0, 0};
            for (int num : nums) {
                //将数组分成两部分,每部分分别异或
                if ((num & bitMask) == 0) {
                    res[0] ^= num;
                } else {
                    res[1] ^= num;
                }
            }
            return res;
        }
    

    总结

    三道求次数问题就这么做完了。

    求次数问题的朴素做法是Hash法,使用Hash存储元素出现次数。

    但是Hash法空间复杂度是O(n),如果要求O(1)的空间复杂度就不行了。

    这时候就要灵活利用位运算的方法,位运算的关键在于充分了解位运算的相关应用。

    简单的事情重复做,重复的事情认真做,认真的事情有创造性地做。

    点赞、关注不迷路,咱们下期见!



    博主算法练习生一枚,刷题路线和思路主要参考如下!

    参考:

    [1]. https://github.com/chefyuan/algorithm-base

    [2]. https://leetcode-cn.com/problems/single-number-ii/solution/ti-yi-lei-jie-wei-yun-suan-yi-wen-dai-ni-50dc/

    [3]. https://blog.csdn.net/White_Idiot/article/details/70178127

    [4].https://blog.csdn.net/qq_30374549/article/details/89520849

    [5].https://leetcode-cn.com/problems/single-number-iii/solution/javawei-yun-suan-jie-jue-ji-bai-liao-999-dp5b/

    [6]. https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/computercode.html

    cs